Métodos de Generación de Variables Aleatorios

MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA

Utiliza la distribución acumulada F(x) de la distribución que se va a simular. Puesto que F(x) está definida en el intervalo (0;1) , se puede generar un numero aleatorios uniforme R y tratar de determinar el valor de la variable aleatoria para la cual su distribución acumulada es igual a R, es decir, el valor simulado de la variable aleatoria que sigue una distribución de probabilidad F(x), se determina al resolver la siguiente ecuación:

F(x)= R ó x = F^-1(R)

La dificultad principal de este método descansa en el hecho de que en algunas ocasiones es difícil encontrar la transformada inversa. Sin embargo, si esta función ya ha sido establecida, generando número aleatorios uniformes se podrá obtener valores de la variable aleatoria que siga la distribución de probabilidad deseada.

MÉTODO DE  RECHAZO

Existe otro procedimiento para generar números al azar da distribución de probabilidades no-uniformes. A este procedimiento se le conoce con el nombre de rechazo. Este método consiste primeramente en generar un valor de la variable aleatoria y en seguida probar que dicho valor simulado proviene de la distribución de probabilidad que se está analizando. La aplicación del método de rechazo implica el desarrollo de los siguientes pasos:

1. Generar dos números uniformes R₁ y R₂

2. Determinar el valor de la variable aleatoria x de acuerdo a la siguiente relación lineal de R₁:

X= a + (b-a) R₁

3. Evaluar la función de probabilidad en x= a + (b-a) R₁

4. Determinar si la siguiente desigualdad se cumple:

R2 ≤ F(a + (b-a) R₁)/M

Se utiliza a x= a + (b-a) R₁ si la respuesta es afirmativa como un valor simulado de la variable aleatoria. De lo contrario, es necesario pasar nuevamente al paso 1 tantas veces como sea necesario.

La teoría sobre la que se apoya este método se basa en el hecho de que la probabilidad de que R₂ ≤ F(x)/M. Por consiguiente, si un numero es escogido al azar de acuerdo a x= a + (b-a) R₁ y  rechazo si R2 > F(x)/M, entonces la distribución de probabilidad de las x aceptadas será exactamente F(x). Por otra parte, conviene señalar que si todas las x fueran aceptadas, entonces x estaría uniformemente distribuida entre a y b.

MÉTODO DE COMPOSICIÓN

Otro método para generar valores de variables aleatorias no-uniformes es el método de composición. Mediante este método la distribución de probabilidad F(x) se expresa como una mezcla de varias distribuciones de probabilidad F(x) seleccionadas adecuadamente.

El procedimiento para la selección de las F(x) se basa en el objetivo se minimizar el tiempo de computación requerido para la generación de valores de la variable aleatoria analizada.

Los pasos requeridos para la aplicación de este método en la simulación de variables no-uniformes son los siguientes:

1. Dividir la distribución de probabilidad original en sub-áreas, tal como se muestra en la figura

2. Definir la distribución de probabilidad para cada sub-área.

3. Expresar la distribución de probabilidad original en la forma siguiente:

F(x)=A₁F₁(x) +  A₂F₂(x) +… A_nF_n(x)  y  ∑A_i = 1

4. Obtener la distribución acumulada de las áreas:

5. Generar dos números uniformes R₁, R₂

6. Seleccionar la distribución de probabilidad F(x) con la cual se va simular el valor de x. La selección de esta distribución se obtiene al aplicar el método de la transformada inversa, en la cuel el eje Y está representado por la distribución acumulada de las areas, y el eje X por las distribuciones F(x). Para esta selección se utiliza el numero uniforme R_1.

7. Utilizar el numero uniforme R₂ para simular por el método de la transformada inversa o algún otro procedimiento especial, números al azar que sigan la distribución de probabilidad F(x) seleccionada en el paso anterior.

MÉTODO DE CONVOLUCIÓN

Muchas variables aleatorias incluyendo la normal,  binomial,  poisson, gamma, erlang,  etc., se pueden expresar de forma exacta o aproximada mediante la suma lineal de otras variables aleatorias. El método de convolución se puede usar siempre y cuando la variable aleatoria  x se pueda expresar como una combinación lineal de k variables aleatorias:

x=b₁x₁+ b₂x₂ +…+b_kx_k

En este método se necesita generar k números  aleatorios (u₁,u₂,...,u_k) para generar (x₁,x₂,...x_k) variables aleatorias usando alguno de los métodos anteriores y así poder obtener un valor de la variable que se desea obtener por convolución.

Bibliografía:

• Generación de variables aleatoria http://wwwdi.ujaen.es/asignaturas/computacionestadistica/pdfs/tema5.pdf

• COSS BU Raúl, SIMULACION: UN ENFOQUE PRÁCTICO, Noriega Editores. 

Historia de los Numeros Aleatorios

Una forma de aprender cosas es leyendo historias, cuentos etc, a continuacion encontraras narrada a forma de cuento la historia de los numeros aleatorios:


UNA HISTORIA PARA APRENDER

Había una vez un par de amigos que querían ser matemáticos, se la pasaban en la biblioteca leyendo y leyendo libros de matemática, haciendo ejercicios y resolviendo cuanto problema se encontraban.

Un día Nicolas le dijo a su amigo Federico:

-- Federico, nosotros sabemos que es un numero  aleatorio pero, tu sabes desde cuando se habla de aleatoriedad.

Federico respondió:

-- Buena  pregunta qué te parece si vamos buscamos acerca de ello y mañana hablamos.

Nicolas  acepto la propuesta de Federico. Al día siguiente Federico llego hablando de lo que había encontrado, le comento a su amigo que había encontrado que desde hace muchos años aproximadamente 3500 A.C. los instrumentos que usaban para los juegos de azar eran de hueso en lugares como Egipto, estos podrían ser los dados de la época.

Nicolas no se quedo atrás y antes que Federico siguiera le dijo: el noble francés Antonie Gombauld en el siglo XVII puso en duda el éxito y fracaso en las mesas de juegos y le formulo a un matemático también francés Blaise Pascal de ¿cuál era la probabilidad de sacar dos seis con un par de dados en 24 lanzamientos?, Federico se sorprendió, 24 lanzamientos, me imagino que no le respondió porque en la época no había la tecnología que tenemos ahora para responder eso en un 2x3.

A lo que Nicolas respondió, no amigo estas equivocado, si la tecnología que tenemos ahora fue desarrollada a las cosas que antes se hacía a la antigua es decir  a lo manual somos afortunados porque hubieron personas que se imaginaron hacer esas cosas de una manera más fácil, pero bueno de eso no hablábamos, como te dije si respondió este problema porque al igual que Gombauld, Pascal sintió interés por la teoría de probabilidad que incluso lo comentaron con un amigo de apellido de Fermat, Federico respondió Pierre de Fermat, ese mismo amigo dijo Nicolas, incluso los documentos que ellos escribieron fue la primera revista académica de probabilidad, encontraron solución a problemas que se consideraban no tenían, aunque tuvieron ayuda indirecta de Galilei y Giordamo Cardamo quienes ya habían encontrado probabilidades numéricas.

Federico agrego, sabes que también leí, que después de ellos hubieron otras personas quienes realizaron estudios como estos pero fue en el siglo XIX que el marqués de Laplace, Pierre Simon, reunió todas esas ideas iníciales y formuló la primera teoría de la probabilidad y que fue aplicada los juegos de azar, en eso Nicolas dijo si esa teoría ha sido desarrollada desde el siglo XVII y aplicada en diferentes campos de la ingeniería y ciencias y en el estudio de fenómenos mediante el método de Montecarlo .

Montecarlo? Dijo Federico extrañado, yo no leí nada de eso. En ese momento llego Alejandra, amiga de ellos la cual compartía el mismo sueño de ambos.

Hola amigos que mas, ¿qué hacen?, aquí hablando de azar, probabilidad y ahora que Nicolas menciona el método Montecarlo no sé qué es eso dijo Federico, hay yo te digo respondió Alejandra, el método fue llamado así por el principado de Mónaco por ser ``la capital del juego de azar'', al tomar una ruleta como un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Monte Carlo vienen aproximadamente de 1944 con el desarrollo de la computadora electrónica. John von Neumann y Stanislao Ulam, metrópolis  y Lehmer pueden ser nombrados en este campo.

¿Neumann el de teoría de juegos? Pregunto Nicolas, si ese mismo dijo Alejandra, valla ese señor si es un matemático neto, así quiero llegar a ser yo agrego Nicolas. Pero ¿ese fue el inicio del método? Dijo Federico, a lo que Alejandra dijo, no, fue en 1949 cuando se hizo oficial con la publicación de THE MONTECARLO METHOD de Metrópolis y Stanislaw.

Increíble cómo han cambiado las cosas, antes los números aleatorios eran generados por métodos manuales antes de la invención de las computadoras, ahora solo basta con entrar a Excel y usar  una formula exclamo Alejandra.

Ring ring era el celular de  Alejandra bueno amigos ya me voy nos vemos en el msn, listo nena chao dijeron los amigos, bueno parcero yo ya me voy también debo ir ayudar a mi hermanita con calculo integral dijo Nicolas y yo a mi primo con investigación de operaciones dijo Federico.

 Listo estamos hablando.

FIN

Mapa de Distribuciones

En el siguiente enlace encontraras algunas de las distribuciones continuas y discretas:


https://docs.google.com/document/d/1D8CDX7y1iZfrzC_NNvKDcEEeElOG1CvbKlMkcsxp6wU/edit?hl=en&pli=1#




Bibliografia: Hernandez Gonzales Francisco J.;Breve introducción a la investigación de operaciones; facultad de ingeniería de la universidad autónoma de san luis potosí

http://www.scielo.cl   

Metodos Congruenciales

Congruencial Mixto

Los generadores congruenciales lineales generan  una secuencia de numero pseudoaleatorios en la  cual el próximo numero pseudoaleatorios es determinado a partir del numero generado, es decir el numero pseudoaleatorios X_n+1 es derivado a partir del numero pseudoaleatorios X_n  

Para el caso particular del generador Congruencial mixto, la relación de decurrencia es la siguiente:

X_n+1 =( aX_n  + C) mod m

Donde:

X₀ = la semilla (X₀ > 0)

a= el multiplicador (a>0)

c= constante aditiva (c>0)

m= el modulo (m>X₀  , m>a y m>c)

Esta relación de recurrencia nos dice que X_n+1 es el residuo de dividir aX_n + c entre el modulo.

Veamos el siguiente ejemplo:

Generar 2 números aleatorios de modulo 8 con constantes a= 5 y  c=7 y una semilla x0 = 4.

             X_N+1= (5X_N + 7)(MODULO 8)

X1= 27 MODULO 8= 3

X2=22 MODULO 8= 6

Congruencial Multiplicativo

Al igual que el generador Congruencial mixto, el generador Congruencial multiplicativo determina el próximo número pseudoaleatorio a partir del último número generado, de acuerdo a la siguiente recurrencia:

X_n+1 = aX_n mod m

Método de los Cuadrados Medios

Es debido a von Neuman y tiene fundamentalmente solo interés histórico.

1. se toma un numero entero inicial, X0, llamado semilla, de 2n cifras.

2. se eleva al cuadrado, obteniendo un número de 4n cifras (completado quizás con ceros a la izquierda).

3. se considera X₁ el número entero formado por las 2n cifras centrales.

4. se eleva al cuadrado X₁ y se repite el proceso anterior tantas veces como sea preciso.

5. finalmente se consideran los numero u_i = X_i/10²ⁿ ya en el intervalo (0,1)

Ejemplo:

https://spreadsheets.google.com/ccc?hl=en&key=tbTzTnMR-Jgj-UmOu-czftQ&hl=en#

Bibliografía: Cao Abad Ricardo; Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas;

Bibliografía: Coss Bu Raul; Simulación un Enfoque Practico; Limusa Noriega editores.

La Simulación

La simulación se define como una técnica experimental, que generalmente se realiza por computadora para analizar el comportamiento de cualquier sistema que opere en el mundo real. La simulación involucra un proceso o sistema en el que el modelo produce la respuesta del sistema real ante eventos que suceden en este durante un periodo dado de tiempo.

La simulación se usa para predecir el comportamiento de sistemas complejos de manufactura o servicios, mediante la observación de los movimientos y la interacción de los componentes del sistema. El software de simulación genera reportes y estadísticas detallados que describen el comportamiento del sistema que se estudia.

La modelación en computadora tiene dos características de importancia que colocan a la simulación aparte de otras formas de análisis, la primera es que es dinámica, en el sentido en que se observan el comportamiento del modelo durante el tiempo que dure la simulación y la segunda es que usa un modelo estocástico en lugar de uno deterministico.

La simulación es algo que vivimos a diario en nuestro entorno, sobre todo en la naturaleza, un ejemplo es la  Zarigüeya de Virginia, que se simula estar muerta cuando se ve amenazada, otro ejemplo de animales simuladores es la serpiente cabeza de marrano, que se pone boca arriba y saca la lengua como si estuviera agonizando.

La simulación puede estar en función de algunos factores como el tiempo y dentro de esta se encuentran:

1. La proyectiva: hace referencia a conocer cómo será el comportamiento de algo en el futuro, esta es muy usual en un estudio de mercado para un nuevo producto o servicio.

2. La retrospectiva: referente a como fue el comportamiento de algo, un ejemplo claro de esta es como era el  comportamiento del mercado en cierta época de la humanidad.

De igual forma la simulación puede esta en función del medio o escenario y dentro de esta encontramos:

1. Semi-Imersiva: Se tiene una interacción con todo el escenario sin estar implicado en algo en especia.

2. Imersiva: Esta es la nueva forma de simular, es muy ligado a la realidad virtual, se interactúa con un escenario casi como si se estuviera realmente en dicho escenario.

3. No Imersiva: la podemos asociar a los videos juegos, es que hay una interacción pero no lo suficientemente casi real como para transportar al individuo al escenario.

Bibliografía:

1. Stephens Mattew P.; Diseño de Instalaciones y Manejo de Materiales: editorial Pearson.

2. Apuntes clase de Simulacion de procesos del 07 de febrero de 2011.