Métodos de Generación de Variables Aleatorios

MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA

Utiliza la distribución acumulada F(x) de la distribución que se va a simular. Puesto que F(x) está definida en el intervalo (0;1) , se puede generar un numero aleatorios uniforme R y tratar de determinar el valor de la variable aleatoria para la cual su distribución acumulada es igual a R, es decir, el valor simulado de la variable aleatoria que sigue una distribución de probabilidad F(x), se determina al resolver la siguiente ecuación:

F(x)= R ó x = F^-1(R)

La dificultad principal de este método descansa en el hecho de que en algunas ocasiones es difícil encontrar la transformada inversa. Sin embargo, si esta función ya ha sido establecida, generando número aleatorios uniformes se podrá obtener valores de la variable aleatoria que siga la distribución de probabilidad deseada.

MÉTODO DE  RECHAZO

Existe otro procedimiento para generar números al azar da distribución de probabilidades no-uniformes. A este procedimiento se le conoce con el nombre de rechazo. Este método consiste primeramente en generar un valor de la variable aleatoria y en seguida probar que dicho valor simulado proviene de la distribución de probabilidad que se está analizando. La aplicación del método de rechazo implica el desarrollo de los siguientes pasos:

1. Generar dos números uniformes R₁ y R₂

2. Determinar el valor de la variable aleatoria x de acuerdo a la siguiente relación lineal de R₁:

X= a + (b-a) R₁

3. Evaluar la función de probabilidad en x= a + (b-a) R₁

4. Determinar si la siguiente desigualdad se cumple:

R2 ≤ F(a + (b-a) R₁)/M

Se utiliza a x= a + (b-a) R₁ si la respuesta es afirmativa como un valor simulado de la variable aleatoria. De lo contrario, es necesario pasar nuevamente al paso 1 tantas veces como sea necesario.

La teoría sobre la que se apoya este método se basa en el hecho de que la probabilidad de que R₂ ≤ F(x)/M. Por consiguiente, si un numero es escogido al azar de acuerdo a x= a + (b-a) R₁ y  rechazo si R2 > F(x)/M, entonces la distribución de probabilidad de las x aceptadas será exactamente F(x). Por otra parte, conviene señalar que si todas las x fueran aceptadas, entonces x estaría uniformemente distribuida entre a y b.

MÉTODO DE COMPOSICIÓN

Otro método para generar valores de variables aleatorias no-uniformes es el método de composición. Mediante este método la distribución de probabilidad F(x) se expresa como una mezcla de varias distribuciones de probabilidad F(x) seleccionadas adecuadamente.

El procedimiento para la selección de las F(x) se basa en el objetivo se minimizar el tiempo de computación requerido para la generación de valores de la variable aleatoria analizada.

Los pasos requeridos para la aplicación de este método en la simulación de variables no-uniformes son los siguientes:

1. Dividir la distribución de probabilidad original en sub-áreas, tal como se muestra en la figura

2. Definir la distribución de probabilidad para cada sub-área.

3. Expresar la distribución de probabilidad original en la forma siguiente:

F(x)=A₁F₁(x) +  A₂F₂(x) +… A_nF_n(x)  y  ∑A_i = 1

4. Obtener la distribución acumulada de las áreas:

5. Generar dos números uniformes R₁, R₂

6. Seleccionar la distribución de probabilidad F(x) con la cual se va simular el valor de x. La selección de esta distribución se obtiene al aplicar el método de la transformada inversa, en la cuel el eje Y está representado por la distribución acumulada de las areas, y el eje X por las distribuciones F(x). Para esta selección se utiliza el numero uniforme R_1.

7. Utilizar el numero uniforme R₂ para simular por el método de la transformada inversa o algún otro procedimiento especial, números al azar que sigan la distribución de probabilidad F(x) seleccionada en el paso anterior.

MÉTODO DE CONVOLUCIÓN

Muchas variables aleatorias incluyendo la normal,  binomial,  poisson, gamma, erlang,  etc., se pueden expresar de forma exacta o aproximada mediante la suma lineal de otras variables aleatorias. El método de convolución se puede usar siempre y cuando la variable aleatoria  x se pueda expresar como una combinación lineal de k variables aleatorias:

x=b₁x₁+ b₂x₂ +…+b_kx_k

En este método se necesita generar k números  aleatorios (u₁,u₂,...,u_k) para generar (x₁,x₂,...x_k) variables aleatorias usando alguno de los métodos anteriores y así poder obtener un valor de la variable que se desea obtener por convolución.

Bibliografía:

• Generación de variables aleatoria http://wwwdi.ujaen.es/asignaturas/computacionestadistica/pdfs/tema5.pdf

• COSS BU Raúl, SIMULACION: UN ENFOQUE PRÁCTICO, Noriega Editores.